物理ノートby永井

ノート
私がつらつらと理解したことを載せています。ノートは間違っている可能性はありますので注意してください。
同じところでひっかかってしまっている人の手助けになればと思っています。

Hartree-Fock近似に関するノート
Hartree-Fock方程式までの導出。
第二量子化に関するノート(Fermionのみ）
第二量子化における二体の演算子の物理的イメージを理解しようとしたもの。
第二量子化におけるHartree-Fock近似に関するノート
第二量子化法を用いるとHartree-Fock近似が理解しやすい。
磁化Mと磁場Hについて
「超伝導体において理論的考察の中に磁化MとベクトルHを導入しても物理的意味はない」というランダウの言葉について。
古典的プラズマ振動について
近似が気になったので。
任意の曲線に沿った等速運動が可能であることの証明
等速運動というのは、直線運動と等速円運動しかないのか、と気になったので。
Thomas-Fermi遮蔽について
電子液体のモデル（jelliumモデル）から電子のトーマス・フェルミ遮蔽を導出してみた。
電子を古典的に考えると遮蔽長を計算出来ないが、古典的でも定性的な議論としては成り立っているような気がする。
超伝導の渦糸、KTB転移
KT転移、KTB転移、BKT転移、などいろいろな言い方があるようだ。
渦糸間の相互作用の表式を求めることがこのNoteの目的である。
強磁性体で両側を挟まれた超伝導薄膜
線形GL方程式の適用条件に注意して計算を行った。
通常零磁場臨界温度近傍では線形GL方程式は使えないようだ。
機会があれば非線形GL方程式を解きたいと思っている。
フォノンを媒介とした電子電子相互作用：BCS有効ハミルトニアンの導出
フォノンを媒介とした電子電子相互作用が引力となることを示した。
また、電子格子相互作用のハミルトニアンから電子電子引力相互作用の有効ハミルトニアンを導出した。
何も見ずに計算した箇所もあるので間違いがあるかもしれないので注意。
経路積分表示 part 1：1粒子の場合
読む論文に「作用」が出てきても驚かないように、経路積分についてまとめた。
断熱定理による摂動展開において時間発展演算子Uが重要な役割を果たした。
経路積分と摂動展開による方法の違いは、時間発展演算子をどのように表現するかという違いである。
経路積分表示 part 2：ボソン系、フェルミオン系の場合
経路積分表示についてのpart 2。
ボソン系、フェルミオン系についてまとめた。
ノートのほとんどはコヒーレント状態の説明とグラスマン数の説明に費やされている。
経路積分表示 part 3：Green関数
経路積分表示についてのpart 3。
温度Green関数の経路積分表示について。
経路積分による計算の例として自由電子系のGreen関数を計算してみた。
一次元タイトバインディング模型の反射問題
ホッピングの異なる強束縛模型の一次元鎖を二つくっつけた系でどんな反射が起きるかを調べた。
片側にポテンシャルがある一次元の量子力学の教科書的問題の離散版と見なすこともできる。
境界条件をどのように決めるか、という話。
グラフェンにおけるディラック方程式
グラフェンにはディラックコーンがあるとよく言われる。
グラフェンの低エネルギーの有効理論としてのディラック方程式を導いてみた。
核磁気緩和率と動的磁化率の関係
核磁気緩和率と動的磁化率の関係式を導出した。
NMRで測られる1/T1がどのような量なのかを考えた。
係数などが間違っているかもしれないので注意。
Particle-Hole Symmetry と副格子
ハミルトニアンを副格子に分割できて、かつ副格子間にのみ遷移要素がある系には、電子正孔対称性があることを示した。
電子正孔対称の点にフェルミエネルギーを持ってくるとHalf-fillingになる。
Bogoliubov-de Gennes方程式の導出
Bogoliubov-de Gennes方程式を導出する。その際、なるべく導出の過程がわかりやすくなるように、天下り的にBogoliubov変換を定義しないようにした。
パイエルス位相について
格子系でベクトルポテンシャルを扱う手法であるパイエルス位相について、Web上にほとんど文献がなかったので作成した。これが正しい導出方法なのかはわからない。
3次元ディラック型ハミルトニアンの表面束縛状態
3次元ディラック型方程式はトポロジカル絶縁体の有効モデルとして使われる。トポロジーの議論を全く使わずに、この方程式の表面束縛状態の解を求めてみた。
演算子の二次形式で表現されたハミルトニアンの物理量について
ハミルトニアンがフェルミオンの生成演算子と消滅演算子の組で書かれている場合、そのハミルトニアンを行列で考えるといろいろと見通しがよい。
一般的な相互作用の場合のギャップ方程式とその線形化
一般的な相互作用の場合のギャップ方程式を導出し、その線形化された方程式も導出する。その際、二次形式で書かれたハミルトニアンのGreen関数は一粒子ハミルトニアンの逆行列で書けることも示す。
超伝導体におけるマヨラナ粒子
超伝導体中にゼロエネルギー準粒子があった場合、それはマヨラナ粒子であることを示す。
連続模型におけるパイエルス位相について
ベクトルポテンシャル入りの連続模型を差分化した場合にも格子系と同様にパイエルス位相が出るのでは？と思ったので導出してみた。これが正しい導出方法なのかはわからない。

Green関数がらみは間違いが多い可能性があるので注意。
日々更新中。

Green関数とは
Green関数を用いると物理量が計算できるらしい。
(2006年1月21日、間違いを訂正。)
(2006年9月6日、細かなミスを訂正。)
Green関数の求めかた
Green関数をどうやって求めるか。有限温度でのWickの定理の導出。
2体のGreen関数を1体に近似する方法と、Hartree-Fock近似との関連。
ついでにHartree-Fock近似でのハミルトニアンを導出。この近似が平均場近似であるということがよくわかる。
(2006年5月20日、Hartree-Fock近似のハミルトニアンを導出できていなかったのがわかったのでとりあえずその部分だけ公開停止。)
BCS理論とGor'kov方程式
Gor'kov方程式の導出。
Green関数の運動方程式をBCS理論の枠組みで近似的に解くための方法。
Gor'kov方程式の行列表示
Gor'kov方程式の行列表示の導出。
singlet、triplet両方の場合について考えてみる。
準古典Green関数とEilenberger方程式
準古典Green関数の定義とEilenberger方程式の導出。
Gor'kov方程式を解いてGreen関数を得る代わりに、Eilenberger方程式を解いて準古典Green関数を得ることで
物理量を計算したい。そのための方法。
空間的に一様な場合のGreen関数と準古典Green関数
磁場がなく空間的に一様な系でのGor'kov方程式はノート「Gor'kov方程式の行列表示」ですでに解いた。
この結果を用いて準古典Green関数の表式を求める。
Green関数を用いた状態密度の確認。
不純物が存在するときのEilenberger方程式
不純物密度が十分に薄い場合のEilenberger方程式を導出する。
不純物同士が十分に離れており単一の不純物のみがGreen関数に影響を与えるような状況を考える。
s波の超伝導体においては、不純物があろうとなかろうと物理量が変わらないことを示す。
Scalar Riccati 方程式
Eilenberger方程式をScalar Riccati方程式の形式に変形する。
Riccati方程式は非線形微分方程式であるが、ある線形微分方程式を用いて解を得ることができるので有用である。
磁場のない空間的に一様な系での準古典Green関数が、以前得られた結果と一致することを示す。
Kramer-Pesch近似
Riccati方程式をKramer-Pesch近似で解く。
具体的にはあるパラメータに対して0次、1次の方程式を導く。
この結果はVortex Bound Stateへ適用することができる。
異方的Fermi面に関するノート
物理量を求める際によく用いる運動量空間での積分を異方的Fermi面の場合に拡張する方法。
ここでは例として状態密度の表式を導出している。
準古典近似が使えるようにエネルギーの積分と表面積分へと変換する。
Eliashberg方程式の導出
強結合理論におけるGreen関数の運動方程式であるEliashberg(エリアシュベルグ)方程式の導出。
Gor'kov方程式の強結合理論版と言える。
Tcを決めるため、臨界温度近傍での線形化されたギャップ方程式を導出した。
準古典遅延Green関数を用いた状態密度の表式の導出
準古典遅延Green関数を用いて状態密度N_s(E)を導出するとき、
E < 0 の領域まで正しい表式を得るには温度Green関数の解析接続を注意深く行わなければならない。
Green関数を用いればホール的励起も含めて状態密度が自然な形で導出されるということを示した。
不純物散乱におけるT-Matrix
不純物散乱におけるT-MatrixとGreen関数についてのノート。
Self-Consistent T-Matrix Approximationについてまとめた。
Ginzburg-Landau方程式のEilenberger方程式からの導出
Ginzburg-Landau方程式を微視的に導出する方法の一つとして、Gor'kov 方程式に準古典近似を施して得られたEilenberger方程式にさらに近似を施す方法について述べる。
この方法は Kopninの教科書に準じている。
Wigner表示を使ったEilenberger方程式の導出
Kopninの教科書に準じたやり方よりもより洗練されていると思われる、Wigner表示を使ったEilenberger方程式の導出についてまとめた。
Usadel方程式の導出
Eilenberger方程式のdirty limitを取ると、Usadel方程式になる。これを導出してみた。
また、Eilenberger方程式を変形したRicatti方程式に出てくる変数でUsadel方程式を書き直すということもやってみた。

Triplet関連。ここもたぶん間違いは多い。

一般的なBogoliubov変換
tripletであろうがsingletであろうが用いることのできる、Hamiltonianの対角化法。
dベクトルの表記を用いてu_k、v_kを求める。
Matrix Riccati方程式
Scalar Riccati方程式をtripletの場合に拡張した。
Matrix Riccati方程式の導出としては一番わかりやすいと思う。
Gor'kov方程式の行列表示part2
Gor'kov方程式の行列表示のより整理された導出。
4x4のGor'kov方程式を導出した。
その後、singletの場合と、unitaryなtripletの場合には2x2のGor'kov方程式に落とすことができることを示した。

非平衡Green関数について考えるための下準備ノート。間違いがありそうなので注意。

相互作用表示と時間発展演算子
相互作用表示と時間発展演算子についてまとめた。
時間発展演算子の微分方程式から逐次近似による解を求め、T積を導入した。
断熱定理の証明
Gell-Mann-Low(ゲルマン・ロウ)の定理とも呼ばれる断熱定理の証明を行った。
T積やn次の積分の扱いが複雑に思えたので比較的丁寧に計算ノートを作った。
T積の扱いに慣れるにはちょうど良いのかもしれない。
物理量の計算と摂動展開
物理量の期待値を相互作用のない系の状態を用いて計算した。
また、Green関数を摂動展開（ファインマン・ダイアグラムで展開）するための表記を求めた。
相互作用のない系の期待値によって相互作用のある系の物理量の期待値が計算できるため、Wickの定理を用いることができる。
密度行列演算子の時間発展と物理量の期待値
物理量の期待値を相互作用のない系の状態を用いて計算した（平成19年6月5日考え違いをしていた箇所を訂正）。
前のノートでは虚時間を導入して有限温度の系を扱ったが、今回のノートでは実時間のまま考える。
密度行列演算子の時間発展を考えることで、有限温度での物理量の期待値を導き、今後の非平衡状態への適用の準備を行った。
Keldysh形式の非平衡Green関数の導入
非平衡Green関数では何故行列形式を扱うのかについて考えた。
Green関数を定義に従って考えれば、contour orderingも行列形式も自然に理解できることを示す。
非平衡Green関数をファインマンダイアグラムを用いて展開するための方法をまとめた。

数値計算のテクニックをまとめてみた。

非線形方程式の数値解法：自己無撞着な方程式を解く
自己無撞着な方程式を数値的に解く方法を理解するため、s波のギャップ方程式の温度依存性を求めた。
self-consistentな方程式は結局のところ非線形方程式である。
x=G(x)の解を得るための方法として、Aitkenの加速法やSteffensenの反復法などをまとめた。
松原Green関数の高速フーリエ変換
高速フーリエ変換(FFT)のアルゴリズムについて軽くまとめた。
また、松原Green関数のフーリエ変換をFFTに載せるための変形について書いた。
有限サイズモデルでバルクを扱う方法
ハミルトニアンが二次形式で表現される有限サイズモデルを使って、バルクの系を計算する方法について。
エネルギー方向の解像度が欲しいときに行う方法。
Runge-Kutta法による一階常微分方程式の解法
準古典理論で現れる方程式であるRIccati方程式は一階常微分方程式である。この微分方程式を数値的に解く為には、Runge-Kutta法が使われる。
8段7次のRunge-Kutta法の係数についてまとめた。
Sakurai-Sugiura法による行列の対角化
Sakurai-Sugiura法(SS法)は、任意の範囲の固有値と固有ベクトルを求める事のできる手法である。この手法はプログラムが比較的単純にも関わらず高速に高精度に計算ができる。
この手法の解説を行う。
Sakurai-Sugiura 法による固有値問題ソルバー z-Pares の解説
Sakurai-Sugiura法(SS法)による固有値問題ソルバーz-Paresが公開された。このノートはそのインストールと実行に関する日本語解説である。
密行列用サンプルコード逐次版はこちら。MPI並列版はこちら。
疎行列用サンプルコードMPI版はこちら。
行列の(i,j)における要素vを計算するサブルーチンを用意すれば勝手にCRS形式に変換して計算できるようにした。
固有値ソルバLOBPCG法の解説
Locally Optimal Block Preconditioned Conjugate Gradient (LOBPCG) 法と呼ばれる、行列の数値的対角化手法について解説する。
最初、一つの最小固有値を求める手法について解説したあと、m個の固有値を求める場合について述べ、最後に Fortran90のサンプルコードを載せる。
サンプルコードはこちら。
Hubbard模型の厳密対角化
Hubbard模型を厳密対角化で解く手法について述べる。簡単のため、一次元を考える。
厳密対角化で重要なことは解くべきハミルトニアンを行列表示することである。
このノートでは主に行列表示する方法について述べる。
サンプルコードはこちら。 Python 2系で書いた。なお、このコードは二次元Hubbard模型の最小固有値を求めることができる。
物性物理で使える誰でもできるMPI並列計算の初歩
最近は一つのCPUに複数のコアが積まれていることが多く、気軽にMPI並列計算ができるようになってきた。
このPDFノートでは、「運動量空間での積分の並列化」を例にして、最小限の労力で並列計算を行うための方法を示す。
なお、言語はFortran90とする。
このPDFノートはあくまでMPI並列計算を使ってみるということに重点を置いており、MPIの詳細は別の文献を参照すること。
サンプルコードはこちら。
数値計算で学ぶ量子力学: プログラミング言語Juliaによる数値計算入門
プログラミング言語Juliaを使って、量子力学を解いてみた。現状まだ未完成。
JuliaはFortranやCに匹敵する速度で実行できるにも関わらず、行列の対角化や数値積分などが非常に簡便に実行できる。
詳しくはこちら(外部サイト)も参考にすると良い。
物理で使う数値計算入門：Julia言語による簡単数値計算
FortranやC並みに高速かつPythonのように書きやすい数値計算向きプログラミング言語Juliaの解説。
随時更新中。最新版はこちら(外部サイト)にある

強相関電子系関連のノート。

ハバードモデルのSlave boson平均場近似によるアプローチ
ある論文を読むために、KR slave boson mean field theoryを調べた。
結局深入りはしなかったので、どんなことをしているかについてだけまとめた。
Hubbardモデルを用いたt-JモデルとHeisenbergモデルの導出
Hubbardモデルにおいて、ホッピング項が相互作用項より小さく二重占有が禁止されていれば、t-JモデルやHeisenbergモデルを導くことができる。
Hubbardモデルのハミルトニアンの相互作用のない場合とホッピング項がない場合の振る舞いを調べ、その後摂動論によりt-JモデルやHeisenbergモデルのハミルトニアンを導出した。
Green関数のエネルギー−運動量表示と準粒子描像
Green関数のエネルギー−運動量表示を求めた。またその表示を用いて、素励起について考えた。
また、自己エネルギーを導入してDyson方程式を導いてみた。
Anderson模型のHartree-Fock近似
Anderson模型のHartree-Fock近似によるGreen関数を求めた。
この近似でU =0とすれば、Anderson模型におけるU =0のときのGreen関数である。
U=0のGreen関数はDMFT（動的平均場理論）において非摂動Green関数として用いられる。
経路積分表示でのAnderson模型のHartree-Fock近似
経路積分表示でのAnderson模型の有効作用を求めた。
結局のところグラスマン数の積分を行っただけのノートである。
DMFTの下準備ノート。
Hubbard模型の有効作用と動的平均場理論
Hubbard模型の有効作用をIsing模型の平均場理論との類推から求めた。
Ising模型の平均場近似を状態和から眺めた。
また、DMFTで用いる自己無撞着方程式の導出を行った。
A. Georges et al. Rev. Mod. Phys. 68 13 (1996)の3-A章をまとめたようなノート。
Green関数のレーマン表示と解析接続
ファインマンダイヤグラムで得られた温度Green関数や自己エネルギーを解析接続するためのノートである。
松原振動数の和を複素積分で表すことを確認した。
Anderson模型の自己エネルギーの二次のダイヤグラムを解析接続して実エネルギー表示を求めた。
Hubbard モデルの RPA
HubbardモデルのRPAによる電荷感受率とスピン感受率の表式を求めた。
ファインマンダイヤグラムを使わずに線型応答理論から求めてみた。
相互作用のある系におけるトポロジカル不変量
相互作用のある系のトポロジカル不変量を簡便に計算する手法として、Z. Wang and S-.C. Zhang, Phys. Rev. X 2, 031008 (2012)がある。
この方法でTKNNS数が確かに計算できることを示した。

GL方程式を導く
先取りレジュメの一部だったもの。Textで言えば四章の始め。
結局自分の担当ではなくなってしまったため、使うことはなかった。
GLコヒーレント長
上と同様、先取りレジュメの一部だったもの。4.2.1。
秩序パラメータのゆらぎと特徴的な長さについて。
こちらも使わなかった。

現代の凝縮系物理学の章末問題
チェイキン＆ルベンスキー「現代の凝縮系物理学」（吉岡書店）の章末問題を解いた。
まえがきに「多くの問題はその分野の専門家に対してさえ挑戦的なものになった」とあるように、
このテキストの章末問題は非常に難しい。簡単な問題を三つ選んで解いた。
簡単といっても、自分にとって4.2はかなりの難問だった。
3.1 相互作用のない古典気体
4.2 外場中の反強磁性体の三重臨界点
5.3 異方的な系の相関関数

Introduction to Superconductivity
輪講で自分が担当したところのレジュメです。

2 INTRODUCTION TO ELECTRODYNAMICS OF SUPERCONDUCTORS
2.3 Type I Superconductors in Strong Magnetic Fields: The Intermediate State　
3 THE BCS THEORY
3.1-3.3　
3.6-3.7　
3.9
3.11
4 GINZBURG-LANDAU THORY
4.3-4.5
4.10-4.11

メモ
Mathematica覚え書き

M1部屋にあるプリンタPhaser 740の印刷方法の覚え書き(もうM1部屋には無いので意義がなくなったがリンクは残しておくことにする)

arXivに載せる画像のサイズ縮小のコツ
arXivに載せるEPSファイルのサイズを1/10近く小さくするコツ。

Linux（あるいはcygwin）でバックアップする方法（二回目以降は差分バックアップしてくれる）：：
rsync -avz -e ssh サーバー名:バックアップしたいディレクトリ名/ サーバー名:バックアップ先ディレクトリ名/
例：：rsync -avz -e ssh aaa.bbb.ccc.ddd: ./aback/ (aaa.bbb.ccc.dddのユーザーディレクトリをまるごとabackにバックアップ)

ghostscriptによるPDF→EPSへの変換（MacのKeynoteで作った図をPDFにしてそのあとEPSにしたいときに使う）：：
gs -sDEVICE=epswrite -sOutputFile=output.eps input.pdf

MathematicaでTable等で作成したリストを関数に変換するコマンド（一点の計算の時間がかかってとてもPlotコマンドで表示できないとき使う）：：
tab=Table[{x,testfunc[x]},{x,1/64,55/64}]
f= Interpolation[tab]
Plot[f[x],{0,55/64}]

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