Topology

2001年10月 -- 2002年2月

16:30 -- 18:00 数理科学研究科棟(駒場)
Tea: 16:00 -- 16:30 コモンルーム

10月9日 -- 056号室, 16:30 -- 17:30

Alberto Verjovsky (メキシコ国民自治大学、クエルナバカ校)

5次元球面の複素曲面による滑らかな葉層構造

(Laurent Meerssemanとの共同研究)
３０年前ローソンは５次元球面に滑らかな余次元１葉層構造を構成した。これは葉層構造論の発展において画期的なことであった。ローソンの葉層構造の各葉は別々に複素曲面の構造をもつ。そこで次の問題を考えるのが自然である。「５次元球面の滑らかな余次元１葉層構造Ｆで葉層の接束ＴＦが積分可能な概複素構造をもつものが存在するか？」これは各葉の複素構造および５次元球面の滑らかな余次元１ＣＲ構造で、積分可能かつレビ平坦なものがあるかという問題である。ローソンの葉層を少し改変し、このようなＣＲ構造を付与することにより、上記の問題が肯定的に解けることを示す。

10月16日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

Hugh Morton (University of Liverpool)

Homfly skein theory and Murphy operators

The Murphy operators (Jucys-Murphy elements) in the Hecke algebra H_n of type A are explicit commuting elements whose sum generates the centre. They can be represented by simple tangles in the Homfly skein theory version of H_n. Symmetric functions of the Murphy operators lie in the centre of H_n. I shall review some examples of Homfly-based skeins which have nice algebraic interpretations, and define geometrically a homomorphism from the skein of the annulus to the centre of each algebra H_n. I show how to represent the mth power sum of the Murphy operators in H_n by a tangle in a way which is essentially independent of n, and consider some possible extensions to other skein-based algebras.

10月30日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

森山哲裕 (東京大学大学院数理科学研究科)

曲面上の点の配置空間と写像類群

曲面の同相群は曲面上の n 点の配置空間に自然に作用します. これは配置空間の(コ)ホモロジー群への写像類群の線型表現を導きます. この(コ)ホモロジー群を, n 点集合の分割に関する組み合わせと曲面の基本群の巾零商を用いて表せることを話したいと思います. このことにより, 例えば表現の kernel が写像類群の n 次の巾零商への作用のkernel と一致することなどが分かります.

11月6日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

R.L.Ricca (University College London)

Energy, helicity and crossing number relations for complex flows

Abstract: Algebraic, geometric and topological measures based on crossing number relations can provide lower bounds on energy and helicity of ideal fluids and can be used to quantify morphological complexity of tangles of magnetic and vortex knots. In the case of volume-preserving flows we discuss new results for the relaxation of generic and inflexional magnetic knots and for homogeneous vortex tangles. These results are useful to determine energy estimates based on topological information and find interesting applications in the study of new relationships between energy and complexity of vortex flows.

Ricca, R.L. (1998) Applications of knot theory in fluid mechanics. In Knot Theory (ed. V.F.R. Jones et al.), pp. 321-346. Banach Center Publs. 42, Polish Academy of Sciences, Warsaw. Ricca, R.L. (2001) Geometric and topological aspects of vortex motion. In An Introduction to the Geometry and Topology of Fluid Flows (ed. R.L. Ricca), pp. 203-228. NATO ASI Series: Mathematics, Kluwer. Ricca, R.L. & Berger, M.A. (1996) Topological ideas and fluid mechanics. Phys. Today 49 (12), 24-30. [Also in: (1997) Parity 10, 20-28.]

11月13日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

Dylan Thurston (Harvard University)

The Casson invariant via configuration spaces

Finite type invariants of integer homology spheres can be written as elementary integrals over configuration spaces. The simplest case is the Casson invariant of a homology sphere M, which can be written as the integral of the cube of a certain 2-form on MxM. We prove that the invariant is finite-type using elementary cut and paste topology.
Joint work with G. Kuperberg.

11月20日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

Vladimir Turaev (IRMA, Strasbourg)

The torsion norm on homology of 3-manifolds

11月27日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

合田洋 (東京農工大工学部)

Essential lamination 及び　デーン手術による三次元多様体の最近の研究

Thurston による三次元多様体の幾何化予想のうち、その基本群が無限群となる部分に対応するケースは様々な方法で研究が進み、特に最近、「essential lamination を許容する三次元多様体の基本群はtoroidal であるか、word hyperbolic である」という結果がCalegariによってアナウンスされています。一方、基本群が有限群となる部分に対応するケースは、ポアンカレ予想はもちろんその系である Property P 予想についても未解決です。が、関連する研究が停滞している訳でもありません。本講演では、細かい部分には目をつむって、この辺りの研究の一端を概説したいと思っています。特に前半は１９８０年代後半にGabai＆Oertelに始まり上述のCalegari の結果にいたる essential laminationによる三次元多様体の研究の流れを、後半はレンズ空間をDehn 手術で生む結び目に関する研究を中心にお話する予定です。

12月4日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

石川昌治 (東京大学大学院数理科学研究科)

有向閉３次元多様体の正オープンブック分解について

近年、A.Loi-R.Piergalliniにより、有向閉３次元多様体がStein fillableであることと、その多様体が正オープンブック分解を持つことが同値であることが示されました。ここでは、どのような正オープンブック分解が存在するかという問題の起点として、 (境界付き)種数g曲面の接円束として得られる有向閉３次元多様体について、その中の任意のリンクに対し、それをbindingに含む正オープンブック分解が存在することを示します。

12月11日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

松田浩 (東京大学大学院数理科学研究科)

Small knots and links

閉３次元多様体内の結び目や絡み目は，その外部に埋め込まれた本質的閉曲面が存在しない時，スモールであると定義されます．この講演では，どのような３次元多様体内にスモール結び目が存在するのか，また３次元球面内にはどれくらい複雑なスモール結び目，絡み目が存在するのかを具体例を挙げて説明します．

12月18日 -- 16:30 -- 18:00

諏訪立雄 (北海道大学大学院理学研究科)

Localization of characteristic classes and applications

Some of the important formulas in Complex Analytic Geometry or Algebraic Geometry can be naturally interpreted as "residue formulas", which are obtained by localizing certain characteristic classes of vector bundles or coherent sheaves.
This sort of theory fits nicely into the framework of the Cech-deRham cohomology. In fact, it provides not only a simple and natural way to prove the classical formulas but also means to deal with a wider range of problems such as the ones on singular varieties or singular foliations. The method is also effective for problems related to characteristic classes in other areas including Symplectic Geometry. I will try to explain the underlying basic ideas and the essentials of some of the following recent developements :
1) theory of Milnor classes for singular varieties,
2) multiplicity of functions on singular varieties,
3) Riemann-Roch theorem for embeddings of singular varieties and its applications,
4) simple proof of the Lefschetz fixed point formula,
5) residues of singular foliations and its application to complex dynamical systems and
6) localization of Maslov classes.

1月8日-- 休み

1月15日 -- 056号室, 17:00 -- 18:00

鈴岡啓一 (東京大学大学院数理科学研究科)

４次元多様体から平面への球面型折り目写像について

４次元多様体から平面への折り目写像の特異点の像は平面上の閉曲線として描かれます。逆にある平面曲線を与え、それを特異点の像として持つ４次元多様体はどのようなものであるかを考えます。これにより４次元多様体の「横顔」がどのように見えるのかということをいくつかの具体例をあげて説明します。またそこから得られる４次元多様体内の fibered link についてもお話します。

1月22日 -- 前半

児玉大樹 (東京大学大学院数理科学研究科)

ルジャンドリアンなベクトル場を持つ複素3次元接触多様体について

複素 3 次元閉多様体 M が接触多様体であるとは、次の条件(0)(1)(2)をみたすときである；
(0) 多様体 M の開被覆 {U} がある。
(1) 各開集合 U 上に、正則(holomorphic)な 1 形式 ω が与えられており、 ω∧dω≠0 をみたす。
(2) 各共通部分 U∩U' 上に正則関数 f が存在し、ω=fω' をみたす。

このとき、 ξ=∪_U kerω は TM の正則なサブバンドルである。この複素接触多様体を (M,ξ) で表す。複素接触多様体 (M,ξ) のルジャンドリアンなベクトル場 X とは、 ξ-{0} の正則なセクションのことである。この講演では、複素 3 次元接触多様体 (M,ξ) がルジャンドリアンなベクトル場 X を持つときの、 (M,ξ,X) の局所的な構造を与える。また、特に ξ が M 上で大域的にただ一つの正則 1 形式 ω によって与えられているときに関して、 (M,ξ,X) の普遍被覆の構造について考察する。

1月22日 -- 後半

高橋淳也 (東京大学大学院数理科学研究科)

Riemann 多様体の崩壊と微分形式に作用する Laplacian の固有値

Riamann 多様体の上の関数に作用する Laplacian の固有値は良く調べられているが，微分形式に作用する場合はまだ不明な点が多い．ここでは，Riemann 多様体の崩壊において，対応する微分形式の固有値の振る舞いに注目する．そこで，特別な崩壊の例に対して，微分形式の場合特有の現象である小さい固有値や大きい固有値の存在について，得られた結果を報告したい．

2月12日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

亀井聡氏 (東京大学大学院数理科学研究科)

The diameters of rotation graphs for binary trees and triangulations of B³

大きさnの二分木について、rotationと呼ばれる操作で生成されるグラフは、 n+2角形のdiagonal flipにより生成されるグラフと同型になります。Sleator, Tarjan, Thurstonは、n>10のとき、このグラフの直径が上から2n-6で押さえられることを示しました。さらに彼らは、このグラフでの適当な二点を繋ぐ pathと、B³上の三角形分割との対応を利用し、nが十分大きいときには直径が真に2n-6に決まることも示しました。一方実際の計算により、このグラフの直径はn>10においては全て2n-6に一致することが予想されています。今回は上記の結果を紹介するとともに、予想解決へのアプローチについて述べたいと思っています。

2月19日 -- 056号室, 16:30 -- 18:00

Sergei Duzhin (Program Systems Institute)

Homology of Khovanov's complex

The importance of the Jones polynomial of a link is universally known. In 1999, M.Khovanov associated with every link a complex of linear spaces whose Euler characteristic, properly interpreted, is equal to the Jones polynomial. It turned out that not only the Euler characteristic, i.e. the alternating sum of homology group ranks, but the homology groups themselves are invariants of the link. It also turned out that these new invariants, in distinction from the Jones polynomial and other invariant polynomials, are rather weird: they are "non-local, unstable and perpendicular to all that we know" (D.Bar-Natan). In the talk, I will explain the construction of Khovanov's complex, list some of its properties and give some examples. I will also review the extensive computer calculations of Khovanov's homology recently made by Bar-Natan and some conjectures that grew out of them.